Método de las Dos Fases: Solución Paso a Paso
📌 1. Introducción al Método de las Dos Fases
El Método de las Dos Fases es una variante del método Simplex que se utiliza cuando el problema de programación lineal incluye restricciones del tipo ≥ o =, lo que requiere la introducción de variables artificiales.
Este método es particularmente útil en problemas donde no es fácil encontrar una solución básica inicial factible. Se divide en dos fases claramente diferenciadas:
- Fase 1: Minimizar la suma de las variables artificiales (función objetivo W).
- Fase 2: Resolver el problema original usando como tabla inicial la resultante de la Fase 1 (sin las variables artificiales).
Cuando el problema tiene restricciones de tipo ≥ o = que requieren variables artificiales, y no se quiere usar el método de la M Grande.
📐 2. Fundamentos Teóricos
Variables Artificiales
Las variables artificiales se introducen en restricciones de tipo ≥ o = para formar una base inicial. Sin embargo, no tienen significado en el problema original y deben ser eliminadas de la solución final.
Objetivo de la Fase 1
Minimizar la función W = suma de todas las variables artificiales. Si el valor óptimo de W es cero, el problema original es factible. Si W > 0, el problema es infactible.
Transición a la Fase 2
Una vez eliminadas todas las variables artificiales (W = 0), se reemplaza la función objetivo por la original y se continúa con el método Simplex tradicional.
🧮 3. Conversión del Problema a Forma Estándar
Para aplicar el método de las Dos Fases, primero debemos convertir el problema a su forma estándar:
- Restricciones ≤: Agregar variables de holgura (S)
- Restricciones ≥: Restar variables de exceso (E) y agregar variables artificiales (A)
- Restricciones =: Agregar variables artificiales (A)
- Función objetivo Fase 1: W = ΣA (minimizar)
Ejemplo de transformación:
Restricción original: X₁ + X₂ ≥ 4 → X₁ + X₂ - E₁ + A₁ = 4
(E₁ = variable de exceso, A₁ = variable artificial)
📊 4. Ejemplo Resuelto Paso a Paso
📋 Problema:
Minimizar: Z = 4X₁ + X₂
Sujeto a:
- 3X₁ + X₂ = 3
- 4X₁ + 3X₂ ≥ 6
- X₁ + 2X₂ ≤ 4
- X₁, X₂ ≥ 0
Paso 1: Convertir a forma estándar
Agregamos variables artificiales A₁ y A₂, y variable de holgura S₁:
3X₁ + X₂ + A₁ = 3
4X₁ + 3X₂ - E₁ + A₂ = 6
X₁ + 2X₂ + S₁ = 4
Función objetivo Fase 1: Min W = A₁ + A₂
Paso 2: Expresar W en términos de variables no básicas
De las restricciones con A₁ y A₂:
A₁ = 3 - 3X₁ - X₂
A₂ = 6 - 4X₁ - 3X₂ + E₁
W = A₁ + A₂ = (3 - 3X₁ - X₂) + (6 - 4X₁ - 3X₂ + E₁) = 9 - 7X₁ - 4X₂ + E₁
Forma canónica: W + 7X₁ + 4X₂ - E₁ = 9
Paso 3: Tabla inicial Fase 1
| Base | X₁ | X₂ | E₁ | A₁ | A₂ | S₁ | Solución |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A₁ | 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 3 |
| A₂ | 4 | 3 | -1 | 0 | 1 | 0 | 6 |
| S₁ | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| W | 7 | 4 | -1 | 0 | 0 | 0 | 9 |
Paso 4: Primera iteración Fase 1
Variable entrante: X₁ (coeficiente más positivo en W: 7)
Variable saliente: Razón mínima:
- A₁: 3/3 = 1
- A₂: 6/4 = 1.5
- S₁: 4/1 = 4
→ Sale A₁, entra X₁
Operaciones:
- Fila pivote (A₁) dividida por 3
- Actualizar otras filas para hacer ceros en columna X₁
Tabla después del pivoteo:
| Base | X₁ | X₂ | E₁ | A₁ | A₂ | S₁ | Solución |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X₁ | 1 | 1/3 | 0 | 1/3 | 0 | 0 | 1 |
| A₂ | 0 | 5/3 | -1 | -4/3 | 1 | 0 | 2 |
| S₁ | 0 | 5/3 | 0 | -1/3 | 0 | 1 | 3 |
| W | 0 | 5/3 | -1 | -7/3 | 0 | 0 | 2 |
Paso 5: Segunda iteración Fase 1
Variable entrante: X₂ (coeficiente positivo en W: 5/3)
Variable saliente: Razón mínima:
- X₁: 1/(1/3) = 3
- A₂: 2/(5/3) = 1.2
- S₁: 3/(5/3) = 1.8
→ Sale A₂, entra X₂
Tabla después del pivoteo:
| Base | X₁ | X₂ | E₁ | A₁ | A₂ | S₁ | Solución |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X₁ | 1 | 0 | 1/5 | 3/5 | -1/5 | 0 | 3/5 |
| X₂ | 0 | 1 | -3/5 | -4/5 | 3/5 | 0 | 6/5 |
| S₁ | 0 | 0 | 1 | 1 | -1 | 1 | 1 |
| W | 0 | 0 | 0 | -1 | -1 | 0 | 0 |
✅ Fin de la Fase 1
Hemos alcanzado W = 0, lo que indica que el problema original es factible. Además, todas las variables artificiales (A₁, A₂) han salido de la base.
Paso 1: Preparar tabla inicial para Fase 2
Eliminamos las columnas de variables artificiales (A₁, A₂) y reemplazamos la función W por Z original:
Z = 4X₁ + X₂ → Forma canónica: Z - 4X₁ - X₂ = 0
Expresamos Z en términos de variables no básicas (E₁, S₁):
De las restricciones:
X₁ = 3/5 - (1/5)E₁
X₂ = 6/5 + (3/5)E₁
Z = 4(3/5 - (1/5)E₁) + (6/5 + (3/5)E₁) = 18/5 - (4/5)E₁ + (3/5)E₁ = 18/5 - (1/5)E₁
Forma canónica: Z + (1/5)E₁ = 18/5
Tabla inicial Fase 2:
| Base | X₁ | X₂ | E₁ | S₁ | Solución |
|---|---|---|---|---|---|
| X₁ | 1 | 0 | 1/5 | 0 | 3/5 |
| X₂ | 0 | 1 | -3/5 | 0 | 6/5 |
| S₁ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| Z | 0 | 0 | 1/5 | 0 | 18/5 |
Paso 2: Primera iteración Fase 2
Como estamos minimizando y todos los coeficientes en Z son ≥ 0, hemos llegado al óptimo.
✅ Solución Óptima
- X₁ = 3/5 = 0.6
- X₂ = 6/5 = 1.2
- Z = 18/5 = 3.6 (valor mínimo)
Interpretación: La combinación X₁ = 0.6 y X₂ = 1.2 minimiza Z a 3.6, cumpliendo todas las restricciones del problema.
💡 5. Interpretación de Resultados
- Fase 1 con W > 0: El problema es infactible (no existe solución que cumpla todas las restricciones).
- Variables artificiales en base al final de Fase 1: Indica restricciones redundantes.
- Valor óptimo de Z: Es el mejor valor posible de la función objetivo original.
⚠️ 6. Consideraciones Importantes
- Siempre se debe verificar que W = 0 al final de la Fase 1 antes de proceder a la Fase 2.
- Las variables artificiales no deben aparecer en la base al final de la Fase 2.
- En problemas de maximización, el criterio de optimalidad en la Fase 2 cambia (todos los coeficientes en Z deben ser ≤ 0).
🔄 7. Comparación con el Método de la M Grande
| Aspecto | Método de las Dos Fases | Método de la M Grande |
|---|---|---|
| Variables artificiales | Se eliminan en Fase 1 | Se penalizan con M |
| Estabilidad numérica | Mejor (no usa valores muy grandes) | Problemas con valores grandes de M |
| Número de iteraciones | Puede requerir más iteraciones | Generalmente menos iteraciones |
| Facilidad de implementación | Más pasos pero más claro | Más directo pero con problemas numéricos |
❓ 8. Preguntas Frecuentes (FAQ)
¿Qué pasa si en la Fase 1 no se logra W = 0?
Significa que el problema original es infactible, es decir, no existe solución que satisfaga todas las restricciones simultáneamente.
¿Se pueden mezclar métodos de Dos Fases y M Grande?
No es recomendable. Se debe elegir un método y aplicarlo consistentemente a todo el problema.
¿Cómo manejar problemas de maximización?
El proceso es similar, pero en la Fase 2 se busca que todos los coeficientes en Z sean ≤ 0 para maximización.
📚 9. Recursos Recomendados
- Libro: "Introducción a la Investigación de Operaciones" - Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman
- Video tutorial: "Método de las Dos Fases explicado con ejemplos" - [Canal de YouTube]
- Software: Solver de Excel, LINDO, LINGO para practicar
✍️ 10. Conclusión
El método de las Dos Fases es una herramienta poderosa para resolver problemas de programación lineal que requieren variables artificiales. Aunque requiere más pasos que el método Simplex estándar, ofrece mayor estabilidad numérica que el método de la M Grande y garantiza encontrar la solución óptima cuando existe.
Practica con más ejemplos para dominar este método fundamental en investigación de operaciones:
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