Método Simplex: Qué es, Cómo Funciona y Ejemplo Paso a Paso
📌 1. Introducción
El Método Simplex es un algoritmo de optimización desarrollado por George Dantzig en 1947, diseñado para resolver problemas de programación lineal. Se utiliza para encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) de una función objetivo lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.
Es una herramienta fundamental en la Investigación de Operaciones y en la toma de decisiones empresariales, especialmente útil en áreas como:
- Producción y manufactura
- Planeación de recursos
- Logística y transporte
- Finanzas y asignación de presupuestos
📐Fundamentos Teóricos del Método Simplex
¿Qué es la Programación Lineal?
La programación lineal es una técnica matemática para maximizar o minimizar una función lineal llamada función objetivo, sujeta a restricciones también lineales. El método Simplex es el algoritmo más usado para resolver este tipo de problemas cuando hay más de dos variables.
Elementos de un problema de programación lineal:
- Función objetivo: Ejemplo: Z = 3X₁ + 2X₂
- Restricciones: Ejemplo: X₁ + X₂ ≤ 4
- Condición de no negatividad: X₁ ≥ 0, X₂ ≥ 0
🧮Conversión del Problema a Forma Estándar
El método Simplex requiere que el problema esté en su forma estándar, lo cual implica:
- Todas las restricciones deben ser ecuaciones (no desigualdades)
- Todas las variables deben ser no negativas
- Se agregan variables de holgura (para ≤), exceso (para ≥) y/o artificiales (para = o ≥)
Ejemplo de transformación:
Restricción original: X₁ + X₂ ≤ 4 → X₁ + X₂ + S₁ = 4 (S₁ = variable de holgura)
📊Tabla Simplex: Cómo Funciona el Algoritmo
El algoritmo Simplex funciona mediante una tabla iterativa que mejora progresivamente la solución. Cada iteración mejora el valor de la función objetivo hasta llegar al óptimo.
Pasos del algoritmo Simplex:
- Inicializar la tabla con la solución básica inicial.
- Seleccionar la variable entrante (la que tiene el coeficiente más negativo en la fila Z).
- Seleccionar la variable saliente (usando el criterio de razón mínima).
- Pivoteo: se actualiza la tabla con nuevas soluciones básicas.
- Repetir hasta que todos los coeficientes en Z sean ≥ 0 (en problemas de maximización).
🔁Variantes del Método Simplex
- Método de las Dos Fases: Minimizar la suma de variables artificiales. Fase 1: minimizar la suma de artificiales. Fase 2: resolver el problema original mediante Simplex, con la tabla resultante de la fase 1.
- Método M Grande: Agrega penalizaciones grandes (M) para forzar que las variables artificiales sean eliminadas.
📘Ejemplo Resuelto Paso a Paso
📋Problema:
Maximizar: Z = 40X₁ + 30X₂
Sujeto a:
- 2X₁ + X₂ ≤ 40
- 3X₁ + 4X₂ ≤ 120
- X₁, X₂ ≥ 0
🧱 Paso 1: Convertir a forma estándar
Agregamos variables de holgura S₁ y S₂ para convertir las desigualdades en ecuaciones:
2X₁ + X₂ + S₁ = 40 3X₁ + 4X₂ + S₂ = 120 Función objetivo: Max Z = 40X₁ + 30X₂ → en forma canónica: Z - 40X₁ - 30X₂ = 0
📈Paso 2: Tabla Simplex Inicial
| Base | X₁ | X₂ | S₁ | S₂ | Solución (RHS) |
|---|---|---|---|---|---|
| S₁ | 2 | 1 | 1 | 0 | 40 |
| S₂ | 3 | 4 | 0 | 1 | 120 |
| Z | -40 | -30 | 0 | 0 | 0 |
📈Paso 3: Primera Iteración
Variable entrante: X₁ (más negativo en Z: -40)
Variable saliente: Determinamos la razón mínima:
- 40 / 2 = 20
- 120 / 3 = 40
→ Sale S₁, entra X₁
Nueva tabla (después de pivoteo en fila 1, columna X₁):
| Base | X₁ | X₂ | S₁ | S₂ | RHS |
|---|---|---|---|---|---|
| X₁ | 1 | 0.5 | 0.5 | 0 | 20 |
| S₂ | 0 | 2.5 | -1.5 | 1 | 60 |
| Z | 0 | -10 | 20 | 0 | 800 |
📈Paso 4: Segunda Iteración
Variable entrante: X₂ (más negativo: -10)
Variable saliente: Razón mínima:
- 20 / 0.5 = 40
- 60 / 2.5 = 24
→ Sale S₂, entra X₂
Nueva tabla (pivoteo en fila 2, columna X₂):
| Base | X₁ | X₂ | S₁ | S₂ | RHS |
|---|---|---|---|---|---|
| X₁ | 1 | 0 | 0.8 | -0.2 | 8 |
| X₂ | 0 | 1 | -0.6 | 0.4 | 24 |
| Z | 0 | 0 | 14 | 4 | 1040 |
✅Solución Óptima
Como ya no hay coeficientes negativos en la fila Z, hemos llegado al óptimo.
- X₁ = 8
- X₂ = 24
- Z (valor óptimo) = 1040
Interpretación: la combinación X₁ = 8 y X₂ = 24 maximiza Z hasta 1040, respetando todas las restricciones del problema.
💡Interpretación de Resultados
- Variables básicas: Son aquellas que tienen valor distinto de cero.
- Variables no básicas: Tienen valor cero.
- Valor de Z: Es el valor óptimo de la función objetivo.
- También se pueden analizar aspectos como la sensibilidad, soluciones múltiples o degeneradas.
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Ir a la Calculadora Simplex paso a paso❓Preguntas Frecuentes (FAQ)
¿Qué pasa si hay múltiples soluciones óptimas?
Cuando hay más de una solución óptima, aparecerá un coeficiente cero en la fila Z para una variable no básica.
¿Qué es una solución degenerada?
Ocurre cuando una solución básica tiene valores cero. Puede causar ciclos si no se controla.
¿El método Simplex siempre encuentra una solución?
No. Si el problema es inviable o la función objetivo no está acotada, el método puede detenerse sin solución finita.
📚Recursos Recomendados
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✍️Conclusión
El método Simplex es una herramienta poderosa en la optimización lineal. Conocer su funcionamiento, estructura y aplicación práctica permite resolver problemas reales de negocios, logística y producción de manera eficiente.
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